Why the paradoxes of infinity still puzzle us today

Why the paradoxes of infinity still puzzle us today

Extrait de Impossibilités probables : réflexions sur les débuts et les finsécrit par Alan Lightman et publié par Vintage Books.

L’homme qui connaît l’infini

Dans l’histoire de Jorge Luis Borges Le livre de sable, un mystérieux étranger frappe à la porte du narrateur et lui propose de lui vendre une Bible qu’il a trouvée dans un petit village de l’Inde. Le livre montre l’usure de nombreuses mains. L’inconnu dit que le paysan analphabète qui lui a donné le livre l’a appelé le Livre de Sable, “parce que ni le sable ni ce livre n’ont de début ni de fin”. En ouvrant le volume, le narrateur constate que ses pages sont froissées et mal réglées, avec un chiffre arabe imprévisible dans le coin supérieur de chaque page. L’inconnu suggère au narrateur d’essayer de trouver la première page. C’est impossible.

Aussi proche du début qu’il explore, plusieurs pages restent toujours entre la couverture et sa main. “C’était comme s’ils avaient grandi à partir du livre même.” L’inconnu demande alors au narrateur de trouver la fin du livre. Encore une fois, il échoue. “Ce n’est pas possible”, dit le narrateur. «Ce n’est pas possible, mais ça l’est», dit le colporteur de Bibles. « Le nombre de pages de ce livre est littéralement infini. Aucune page n’est la première page ; aucune page n’est la dernière. L’inconnu s’arrête et réfléchit. « Si l’espace est infini, nous sommes n’importe où, n’importe où dans l’espace. Si le temps est infini, nous sommes à tout moment. » (Note au lecteur attentif : nous ne pouvons être à aucun moment. La vie ne peut exister que pendant une période relativement courte de l’histoire cosmique, comme nous l’avons vu dans le dernier chapitre.)

Les pensées de l’infini ont hypnotisé et confondu les êtres humains à travers les millénaires. Pour les mathématiciens, l’infini est un terrain de jeu intellectuel, où une chaîne infinie de fractions peut totaliser 1. Pour les astronomes, la question est de savoir si l’espace extra-atmosphérique continue encore et encore et encore et encore à l’infini. Et si c’est le cas, comme le croient maintenant les cosmologistes, les conséquences troublantes abondent. D’une part, il devrait y avoir un nombre infini de copies de chacun de nous quelque part dans le cosmos. Parce que même une situation de probabilité minuscule – comme la création de l’arrangement exact des atomes d’un individu particulier – lorsqu’elle est multipliée par un nombre infini d’essais, se répète un nombre infini de fois. L’infini multiplié par n’importe quel nombre (sauf 0) est égal à l’infini.

Les mesures à l’infini sont impossibles, ou du moins impossibles selon les notions usuelles de grandeur. Si vous coupez l’infini en deux, chaque moitié est toujours infinie. Si un voyageur fatigué arrive dans un hôtel de taille infinie entièrement occupé, pas de problème. Vous déplacez simplement l’invité de la chambre 1 dans la chambre 2, l’invité de la chambre 2 dans la chambre 3, et ainsi de suite à l’infini. Dans le processus, vous avez accueilli tous les invités précédents et libéré
chambre 1 pour le nouvel arrivant. Il y a toujours de la place à l’infinity hotel. Nous pouvons jouer à des jeux avec l’infini, mais nous ne pouvons pas visualiser l’infini. En revanche, nous pouvons visualiser des chevaux volants. Nous avons vu des chevaux, et nous avons vu des oiseaux, donc nous pouvons mentalement implanter des ailes sur un cheval et l’envoyer en l’air. Ce n’est pas le cas avec l’infini. L’invisualisabilité de l’infini fait partie de sa mystique.

La première conception enregistrée de l’infini semble avoir eu lieu vers 600 avant JC et est attribuée au philosophe grec Anaximandre, qui a utilisé le mot apeiron, signifiant “illimité” ou “illimité”. Pour Anaximandre, la Terre et les cieux et toutes les choses matérielles ont été causés par l’infini, bien que l’infini lui-même ne soit pas une substance matérielle. D’autres philosophes grecs anciens soutenaient que l’infini était un négatif, voire un mal, parce que l’incapacité de mesurer une chose était considérée comme un défaut de la chose – à l’exception de l’Un infini et incommensurable. A peu près en même temps que
Anaximandre, les Chinois employaient le mot wuji, signifiant « illimité », et wuqiong, signifiant « sans fin », et croyaient que l’infini était très proche du néant. (Une perspective intéressante sur les idées de Pascal, discutée dans “Entre le néant et l’infini”.) Dans la pensée chinoise, l’être et le non-être, comme le yin et le yang, sont en harmonie l’un avec l’autre – d’où la parenté de l’infini et du néant.

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Quelques siècles plus tard, Aristote a soutenu que l’infini n’existe pas réellement. Il a concédé quelque chose qu’il a appelé l’infini potentiel, comme les nombres entiers. Pour n’importe quel nombre, vous pouvez toujours créer un nombre plus grand en lui ajoutant un. Ce processus peut continuer tant que votre endurance tient, mais vous ne pouvez jamais atteindre l’infini. En effet, l’une des nombreuses propriétés intrigantes de l’infini est que vous ne pouvez pas y arriver à partir d’ici. L’infini n’est pas simplement de plus en plus du fini. Il semble être d’une nature complètement différente, bien que des morceaux de celui-ci puissent apparaître finis, comme de grands nombres, ou comme de grands volumes d’espace. L’infini est une chose en soi. Tout ce que nous voyons et expérimentons a des limites, des limites, des tangibilités. Ce n’est pas le cas avec l’infini. Pour des raisons similaires, saint Augustin, Spinoza et d’autres penseurs théologiques ont associé l’infini à Dieu : le pouvoir illimité de Dieu, la connaissance illimitée de Dieu, l’illimité de Dieu. « Dieu est partout et en toutes choses, dans la mesure où il est illimité et infini », disait saint Thomas d’Aquin.

Au-delà de la sphère religieuse du monde immatériel, les physiciens pensent qu’il peut aussi y avoir des choses infinies dans le monde matériel. Mais cette croyance ne peut jamais être prouvée. Vous ne pouvez pas vous y rendre à partir d’ici. La plupart d’entre nous avons nos premières lueurs d’infini quand nous sommes enfants, lorsque nous regardons le ciel nocturne pour la première fois. Ou quand nous allons en mer, hors de vue de la terre, et regardons l’océan s’étendre indéfiniment jusqu’à ce qu’il rencontre l’horizon. Mais ce ne sont que des lueurs, comme compter jusqu’à quelques milliers dans l’infini potentiel d’Aristote. Nous sommes débordés. Mais nous ne nous sommes pas approchés.

Le concept d’infini reste aujourd’hui un sujet controversé et paradoxal, galvanisant les conférences internationales et les querelles savantes enflammées. Les forces physiques peuvent-elles jamais être infinies en force ? L’espace physique peut-il s’étendre au-delà de galaxie après galaxie sans limite ? Y a-t-il un infini entre l’infini des nombres entiers et l’infini de tous les nombres ? En mai 2013, un panel de scientifiques et de mathématiciens s’est réuni à New York pour discuter des profondes énigmes entourant l’infini. William Hugh Woodin, mathématicien à l’Université de Californie à Berkeley, l’a exprimé ainsi : « C’est un peu comme si les mathématiques vivaient sur une île stable : nous avons construit une base solide. Ensuite, il y a la terre sauvage là-bas. C’est l’infini.

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